SOLUCION DE MATEMATICA

PROPIEDADES DE LA POTENCIACION

 [Propiedades de la potenciación]

Las propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia. Estas son:

 

Potencia de exponente 0 [editar]

Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1.

 

a^0 = 1 \, si se cumple que a \neq 0

00 es una indeterminación. Que puede relacionarse con la indeterminación \frac 0 0 dado que

0^0=0^{-1}\times 0^{1}=\frac 0 0

Potencia de exponente 1 [editar]

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base

 

a^1 = a \,

ejemplo:

54^1=54 \,

Producto de potencias de igual base [editar]

El producto de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los correspondientes exponentes. Se coloca la misma base y se suman los exponentes.

 a^m \cdot a^n = a^{m + n}

ejemplos:

 9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5

División de potencias de igual base [editar]

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. Se coloca la misma base y se restan los exponentes.

\frac{a^m}{a^n}=a^{m - n}

Potencia de un producto [editar]

la potencia de un producto de base (a·b) y de exponente “n” es igual a la potencia “a” a la “n” por “b” a la “n”. Cada base se multiplica por el exponente.

(a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n

Potencia de una división [editar]

En la potencia de una division de base “a/b” y exponente “n” se procede a elevar cada uno de los componentes de la base a “n”.

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

Potencia de una potencia [editar]

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes. Se coloca la misma base y se multiplican los exponentes. asi se obtiene esta potencia

 (a^m)^n = a^{m \cdot n}

Producto de potencias de base distinta [editar]

En forma más general, la suma de dos radicaciones de base distinta a, b se puede expresar de la siguiente manera:

 a^n \cdot b^m = \left ( b \cdot \frac{a}{b} \right )^n \cdot b^m =   \left ( \frac{a}{b} \right )^n \cdot b^n \cdot b^m = \left ( \frac{a}{b} \right )^n \cdot b^{n + m}

De tal forma que si a = b se regresa a la expresión para bases iguales.

Propiedad distributiva [editar]

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

Es distributiva con respecto a la multiplicación y división:

 (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n
 \Big(\frac{a}{b}\Big)^n = \frac{a^n}{b^n}

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

(a + b)^m \neq a^m + b^m
(a - b)^m \neq a^m - b^m

Propiedad conmutativa [editar]

La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes.

En general:

a^b \neq b^a

Propiedad asociativa [editar]

La propiedad asociativa no se cumple para la potenciación.

\left( a^m \right)^n \neq (a)^{(m^n)}

Potencia de base 10 [editar]

Toda potencia de base 10 y exponente natural es igual a la unidad seguida de la cantidad de ceros que indica el exponente.

10^1 = 10 \,
10^6 = 1.000.000 \,
10^4 = 10.000 \,
 842.000 = 842\cdot 10^3 \,

Potencia de exponente fraccionario [editar]

Es una potencia que tiene su exponente en forma de fracción, y en la que se cumple que  a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}

Potencia de exponente negativo [editar]

Una potencia que tenga exponente negativo se cambia de lugar y de este modo su exponente automaticamente cambiara a ser positivo

a b = 1 / ab

Potencia de números complejos [editar]

Para cualquiera de los numeros reales a,b,c,d \, se tiene la identidad:

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